证明平行的技巧有哪些_证明平行四边形的技巧

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1、证明平行的技巧有哪些

该如何证明平行呢?证明平行的方法是怎样的呢?下面就是学习啦小编给大家整理的证明平行的方法内容,希望大家喜欢。

高中证明平行的方法

高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑):

ⅰ.平行关系:

线线平行:1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行:1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行,一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行:1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

ⅱ.垂直关系:

线线垂直:1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直,那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直:1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面,那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个,那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直:1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线,那么这两个平面垂直。

2

方法1:

两组对边分别平行 方法2: 对角线互相平分 方法3: 一组对边平行且相等 楼上的: 试问

两组对边相等

3

证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。2.同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。*10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。*11.利用半圆上的圆周角是直角。

在空间中一定是平行四边形吗?

4

证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。2.同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。*10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。

正六面体的平行透视方法

在正六面体上下、前后、两側三个面中,只要有一个面与画面平行,同时有一面与地面平行的正方面体透视就叫“平行透视”。(它只有一个消失点)

正六面体的平行透视最少看见一个面,最多看见三个面。正六面体作图的线段有水平线、垂直线和消失线,三组边线的透视方向是:四条边线与画面平行、有四条边线与画面垂直,有四条边线向主点消失。如下图:

17人教版证明平行垂直的方法

一、平面的基本性质:;基本性质1:(作用:利用点在面内判定线在面内)如;基本性质2:(作用:①确定平面;②证明点、线共面;推论1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面;基本性质3:(作用:①判定两个平面是否相交;②点;二、几何语言;a?a:点a在直线a上(或直线a经过点a

一、平面的基本性质:

基本性质1:(作用:利用点在面内判定线在面内)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。简言之,直线在平面内或平面经过直线。

基本性质2:(作用:①确定平面;②证明点、线共面)经过不再同一条直线上的三点,有且只有一个平面。简言之,不共线的三点确定一个平面。

推论1 经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面。

推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。

基本性质3:(作用:①判定两个平面是否相交;②点共线;③线共点)如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。

二、几何语言

aa:点a在直线a上(或直线a经过点a);a?a:点a不在直线a上(或直线a不经过点a) a?平面?:点a在平面?内(或平面?经过点a);a?平面?:点a不在平面?内(或平面?不经过点a) 猜你感兴趣: 1.请你用实验方法证明 2.证明垂直的方法 3.平行线证明 4.如何开医院证明 5.勾股定理证明方法

2、证明平行四边形的技巧

平行四边形该如何去证明呢?证明的方法又是怎样的呢?下面就是学习啦小编给大家整理的证明平行四边形内容,希望大家喜欢。

证明平行四边形的方法

如图,分别以rt△abc的直角边ac及斜边ab向外作等边△acd、等边△abe。已知∠bac=30º,ef⊥ab,垂足为f,连结df。

求证:四边形adfe是平行四边形。

设bc=a,则依题意可得:ab=2a,ac=√3a,

等边△abe ,ef⊥ab=>af=1/2ab=a,ae=2a,ef=√3a

∵∠daf=∠dac+∠cab=60°+30°=90°,ad=ac=√3a,∴ df=√(ad²+af²)=2a

∴ae=df=2a,ef=ad=√3a =>四边形adfe是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

2

1.画个圆,里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行,所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360,5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..

3判定(前提:在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 (5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形 (注:仅以上五条为平行四边形的判定定理,并非所有真命题都为判定定理,希望各位读者不要随意更改。) (第五条对,如果对角相等,那么邻角之和的二倍等于360°,那么邻角之和等与180°,那么对边平行,(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形) 编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。) (1)平行四边形对边平行且相等。 (2)平行四边形两条对角线互相平分。 (3)平行四边形的对角相等,两邻角互补。 (4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论) (5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形) (6)过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形。 (7)对称中心是两对角线的交点。

性质9(8)矩形 菱形是轴对称图形。 (9)平行四边形abcd中(如图)e为ab的中点,则ac和de互相三等分, 一般地,若e为ab上靠近a的n等分点,则ac和de互相(n+1)等分。 *注:正方形,矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。 (10)平行四边形abcd中,ac、bd是平行四边形abcd的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和。 (11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。 (12) 平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形。 (13)平行四边形中,两条在不同对边上的高所组成的夹角,较小的角等于平行四边形中较小的角,较大的角等于平行四边形中较大的角。 (14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高,与这个角的两边组成的夹角相等。 编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法一、连接对角线或平移对角线。 二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。 三、连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构成线段平行或中位线。 四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造相似三角形或等积三角形。 五、过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等。 编辑本段面积与周长1、(1)平行四边形的面积公式:底×高(推导方法如图);如用“h”表示高,“a”表示底,“s”表示平行四边形面积,则s平行四边=ah (2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长,@表示两边的夹角,“s”表示平行四边形的面积,则s平行四边形=ab*sin@ 2、平行四边形周长可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1,“b”表示底2,“c平”表示平行四边形周长,则平行四边的周长c=2(a+b) 底×1x高

平行四边形性质定义

(矩形(长方形)、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)

性质:

(1)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别相等。

(简述为“平行四边形的两组对边分别相等”)

(2)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分别相等。

(简述为“平行四边形的两组对角分别相等”)

( 3)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的邻角互补

(简述为“平行四边形的邻角互补”)

(4)夹在两条平行线间的平行的高相等。(平行线间的高距离处处相等)

(5)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相平分。

(简述为“平行四边形的对角线互相平分”)

(6)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)

(7)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形).

(8)过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形。

(9)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两对角线的交点.

(10)平行四边形不是轴对称图形,但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注:正方形,矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形,三者具有平行四边形的性质。

(11)平行四边形abcd中(如图)e为ab的中点,则ac和de互相三等分,一般地,若e为ab上靠近a的n等分点,则ac和de互相(n+1)等分。

(12)平行四边形abcd中,ac、bd是平行四边形abcd的对角线,则各四边的平方和等于对角线的平方和。

(13)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。

(14)平行四边形中,两条在不同对边上的高所组成的夹角,较小的角等于平行四边形中较小的角,较大的角等于平行四边形中较大的角。

(15)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高,与这个角的两边组成的夹角相等。

《平行四边形的面积》教学案例

教学内容:教材第79~81页的内容。

知识目标:通过长方形面积计算知识迁移,理解平行四边形面积的计算公式,并能正确计算平行四边形面积。

能力目标:在剪一剪,拼一拼、比一比中发展空间观念;在看一看,想一想中初步感知等积转化的思想方法,提高分析问题、解决问题的能力。

情感目标:通过活动,激发学习兴趣,培养互相合作、交流、探索的精神,感受数学与生活的密切联系。

教学重点:掌握平行四边形的面积计算公式,能正确计算平行四边形的面积。

教学难点:初步认识转化的思想方法在研究平行四边形面积时的作用,并培养学生的分析、综合、抽象。概括能力和运用转化的方法解决实际问题的能力。

探索新知教学片段:

1、比一比,估一估

师:现在我们也把平行四边形花坛画到纸上,我们先认识平行四边形的底和高。平行四边形的底和长方形的长一样长,平行四边形的高和长方形的宽一样长,它们的面积哪个比较大?

生:一样大。

生:长方形比较大。

生:平行四边形比较大。

……

师:大家都有不同的猜测,有很多同学都说一样大,那么,谁的想法正确呢?我们可以用什么方法来验证呢?四人小组讨论。

生:可以用数格子的方法。(将课本放展示台上。)我先数出整块的,然后这些剩下的小块拼一拼,还可以拼成整块的。

师:请大家看屏幕。(点击课件,边点击边说)

师:用数方格的方法数数看。数一数,它们的面积各是多少?

……

师: 哦,你们数的结果是都是72平方米,说明……

生:平行四边形的面积和长方形的面积相等。

师:也就是……

生:平行四边形的面积也是72平方米。

师:长方形的面积我们可以用公式来计算,那平行四边形的面积是不是也有计算公式呢,这就是我们今天要一起探讨的问题。(板书:平行四边形的面积)

[让学生对“平行四边形面积的计算方法”提出猜想,再进行验证,在获得知识的同时能培养学生思考的深入性和严密性。也可制造悬念,进一步激发探究的欲望。新课标指出:“有效的数学学习活动不能单纯地依赖于模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。”但探究学习并不是任由学生发挥而不加引导的。学生往往在运用已有的知识解决问题的过程中还存在着某些障碍。这就需要教师相机诱导,及时介入,以保证学生把更多的精力投入到更好的学习活动中去。] 猜你感兴趣: 1.怎么证明平行四边形 2.平行四边形证明题 3.平行线的证明 4.几何证明定理 5.证明平行四边形

3、如何证明线线平行的原理

线线平行是数学中的一个原理,这些该怎么证明呢?证明的方法是怎样的呢?下面就是小编给大家整理的如何证明线线平行内容,希望大家喜欢。

用反证法证明线线平行

a平面垂直与一条直线,

设平面和直线的交点为p

b平面垂直与一条直线,

设平面和直线的交点为q

假设a和b不平行,那么一定有交点。

设有交点r,那么

做三角形 pqr

pr垂直pq qr垂直pq

没有这样的三角形。因为三角形的内角和为180

所以 a一定平行于b

内错角相等

同位角相等

同旁内角互补

a平行b,b平行c,则a平行c

平行四边形(那一类如菱形,矩形等)对边平行

证明:如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行 则b、c交于一点o 又因为a‖b,a‖c 所以过o有b、c两条直线平行于a 这就与平行公理矛盾 所以假使不成立 所以b‖c 由同位角相等,两直线平行,可推出: 内错角相等,两直线平行。 同旁内角互补,两直线平行。 因为 a‖b,a‖c, 所以 b‖c (平行公理的推论)

证明线线平行的方法

“两直线平行,同位角相等.”是公理,是无法证明的,书上给的也只是说明而已,并没有给出严格证明,而“两直线平行,内错角相等“则是由上面的公理推导出来的,利用了对等角相等做了一个替换,上面两位给出的都不是严格的证明。

一、怎样证明两直线平行 证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 4、平行四边形的性质定理. 5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(a)艺l=匕3(b)/2=艺3(c)匕4二艺5(d)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 c \认六一值!小人﹃夕叱的 一试勺洲洲川jl ze一b \/(一、图月一飞 /匕\一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(b). 例2(2003年泉州市)如图2,△注bc中,匕bac的平分线ad交bc于d,④o过点a,且和bc切于d,和ab、ac分别交b于e、f,设ef交ad于c,连结df. (l)求证:ef// bc

(1)根据定义。证明两个平面没有公共点。

由于两个平面平行的定义是否定形式,所以直接判定两个平面平行较困难,因此通常用反证法证明。

(2)根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。

(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”,证明两个平面都与同一条直线垂直。

2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系,而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说,一方面,平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定;另一方面,平面

与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样,在一定条件下,线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。

3. 两个平行平面有无数条公垂线,它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。

因此公垂线段的长度是唯一的,把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。

两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离,都归结为两点之间的距离。

平行线的定义

在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。

平行线一定要在同一平面内定义,不适用于立体几何,比如异面直线,不相交,也不平行。

欧氏几何中平行线的性质和判定

平行线的性质

1.经过直线外一点,能且只能画一条直线与已知直线平行。

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补。

3.两条直线平行于第三条直线时,两条直线平行。

4.平行线分三角形对应边成比例。

这几条命题依赖于欧氏几何的第五公设(平行公理),所以在非欧几何中不成立。

平行线的判定

1.在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行。

2.同位角相等,两直线平行。

3.内错角相等,两直线平行。

4.同旁内角互补,两直线平行。

在欧几里得几何原本的体系中,这几条判定法则不依赖于第五公设(平行公理),所以在非欧几何中也成立。 猜你感兴趣: 1.如何证明线面垂直 2.怎样证明平行 3.证明平行四边形 4.怎样证明两直线平行 5.证明平行的方法

4、证明线线平行的方法技巧

线线平行是一个数学难点,关于这个该怎么证明呢?证明的方法又是哪些呢?下面就是小编给大家整理的证明线线平行的方法内容,希望大家喜欢。

证明线线平行的方法一

内错角相等

同位角相等

同旁内角互补

a平行b,b平行c,则a平行c

平行四边形(那一类如菱形,矩形等)对边平行

证明:如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行 则b、c交于一点o

证明线线平行的方法二

“两直线平行,同位角相等.”是公理,是无法证明的,书上给的也只是说明而已,并没有给出严格证明,而“两直线平行,内错角相等“则是由上面的公理推导出来的,利用了对等角相等做了一个替换,上面两位给出的都不是严格的证明。

一、怎样证明两直线平行 证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 4、平行四边形的性质定理. 5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(a)艺l=匕3(b)/2=艺3(c)匕4二艺5(d)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 c \认六一值!小人﹃夕叱的 一试勺洲洲川jl ze一b \/(一、图月一飞 /匕\一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(b). 例2(2003年泉州市)如图2,△注bc中,匕bac的平分线ad交bc于d,④o过点a,且和bc切于d,和ab、ac分别交b于e、f,设ef交ad于c,连结df. (l)求证:ef// bc

(1)根据定义。证明两个平面没有公共点。

由于两个平面平行的定义是否定形式,所以直接判定两个平面平行较困难,因此通常用反证法证明。

(2)根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。

(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”,证明两个平面都与同一条直线垂直。

2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系,而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说,一方面,平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定;另一方面,平面

与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样,在一定条件下,线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。

3. 两个平行平面有无数条公垂线,它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。

因此公垂线段的长度是唯一的,把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。

两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离,都归结为两点之间的距离。

1. 两个平面的位置关系,同平面内两条直线的位置关系相类似,可以从有无公共点来区分。因此,空间不重合的两个平面的位置关系有:

(1) 平行—没有公共点;

(2) 相交—有无数个公共点,且这些公共点的集合是一条直线。

注意:在作图中,要表示两个平面平行时,应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。

2. 两个平面平行的判定定理表述为:

4. 两个平面平行具有如下性质:

(1) 两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。

简述为:“若面面平行,则线面平行”。

(2) 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。

简述为:“若面面平行,则线线平行”。

(3) 如果两个平行平面中一个垂直于一条直线,那么另一个也与这条直线垂直。

(4) 夹在两个平行平面间的平行线段相等

证明线线平行的方法三

用反证法

a平面垂直与一条直线,

设平面和直线的交点为p

b平面垂直与一条直线,

设平面和直线的交点为q

假设a和b不平行,那么一定有交点。

设有交点r,那么

做三角形 pqr

pr垂直pq qr垂直pq

没有这样的三角形。因为三角形的内角和为180

所以 a一定平行于b 猜你感兴趣: 1.怎样证明平行 2.勾股定理证明方法 3.如何开医院证明 4.请你用实验方法证明 5.平行线证明

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